В треугольнике авс вышины, проведённые к граням АС, ВС и ВС

Дано: 

В треугольнике АВС вышины, проведённые к граням АС, ВС и АВ соответственно равны hb=15,ha=35 и hc=21.
Отыскать: 1) площадь треугольника 
2) сторону АВ 
3) сторону ВС 
4) сторону АС 
5) радиус описанной окружности 
6) радиус вписанной окружности 
7) медиану, проведённую к стороне ВС 
8) биссектрису, проведённую из верхушки В.

Используем равенства: 
Отсюда выводим пропорции
То есть, разыскиваемый треугольник со гранями a, b, c сходствен треугольнику ВА1С1 со сторонами 
Значение   одинаково 15*35/21 = 25.

Для треугольника ВА1С1 найдём высоту из вершины В.

Для этого найдём площадь ВА1С1 по Герону:

полупериметр р = (15+35+25)/2 = 75/2 = 37,5.

S(BA1C1) = (37,5*2,5*22,5*12,5) = 26367,1875   162,3797632.

Тогда вышина в этом треугольнике из верхушки В одинакова:

h'(B) = (2S(BA1C1))/(h(A1C1)) = (2*162,3797632)/35 = 9,278844.

Отсюда обретаем коэффициент пропорциональности:

к = 15/9,278844 = 1,616581.

Теперь находим искомые длины сторон:

2) сторона АВ (c) = 1,616581*25 = 40,41452,

3) сторона BС (a) = 1,616581*15 =  24,24871,

4) сторона AС (b) = 1,616581*35 = 56,58033,

1) площадь треугольника АВС = (1/2)АС*hb =

= (1/2)*56,58033*15 = 424,35245 кв.ед.

5) радиус описанной окружности R = (abc)/(4S) = 32,66667.

6) радиус вписанной окружности r = S/p = 424,35245/60,62178 = 7.

7) медиану, проведённую к стороне ВС :

ma = (1/2)(2b+2c-a) = 47,64802.

8) биссектрису, проведённую из верхушки В:

b = (2/(a+c))*(acp(p-b)) = 15,1554.