почему в решениях тригонометрический уравнений в неких случаях ставится и n,

Тригонометрические функции периодичны. То есть, к примеру,
если решением уравнения 2х = 10 является единственное число 5, то у уравнения cosx = 0 решений бесконечное огромное количество, так как косинус обращается в ноль при:
                                       /2 + k, где kZ (огромному количеству целых чисел)
В данном случае k - переменная. Время от времени заместо нее употребляется n. Принципного различия в обозначении переменной нет.
Смотрится это так:
                                     /2 + n,  nZ.

Некоторые тригонометрические уравнения имеют решения с периодом 2:
      sinx = -1    x = -/2 + 2n,  nZ

При решении неких тригонометрических уравнений могут образоваться 2 разных корня. Например решением уравнения:
            sinx - sinx*cosx -2cosx = 0
будут:
            -/4 + k;  arctg2 + n,   n;k Z
В этом случае n и k являются самостоятельными друг от друга переменными, потому для периода каждого корня используется различное ее обозначение.