Привести квадратичную форму к каноническому виду способом ортогональных

Question

Привести квадратичную форму к каноническому виду способом ортогональных

Привести квадратичную форму к каноническому виду способом ортогональных преображений
$x_1^2 +x_2^2 +x_3^2 +x_4^2 -2x_1x_2+6x_1x_3-4x_1x_4-4x_2x_3+6x_2x_4-2x_3x_4$
P.S. Перепроверял несколько раз получаются нулевые собственные векторы. Растолкуйте в чем ошибка

Задать свой вопрос

Александра Стыская 2019-05-03 22:24:48

Собственные числа правильные получаете? Вроде бы с.ч. 7, -3, -1, 1

Вадим Мурару 2019-05-03 22:27:25

Да

Биндарева София
Математика
2019-05-03 22:22:18
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Какой город находится в умеренном поясе континентального типа?А)МурманскБ)Архангельск

Помогите сделать безотлагательно!

помогите пожалуста очень срочно схема вернали сделали?

Write do / does in these sentences:1.__________ Paul like horseriding?2.__________ you

Помогите NaOH+H2So4 и укажите их тип

Пожалуйста решите скоро.

Помогите составить родословную по цвету глаз, волос и веснушкам.

Он является конденсатором влаги: росы, тумана, инея. Разъяснить почему стоит двоеточие.

Помогите решить пожалуйста

Помогите пожалуйста какими словами можно выразить вероятность ТОГО, ЧТО СТРЕЛКА ОСТАНОВИТСЯ

Валерия Пальковская · Answer 1 · 2019-05-03 22:26:12+3:00

Матрица, подходящая данной квадратичной форме:
$A=\beginpmatrixamp;10; 1 amp; -1 amp; 3 amp; -2 \\amp;10; -1 amp; 1 amp; -2 amp; 3 \\amp;10; 3 amp; -2 amp; 1 amp; -1 \\amp;10; -2 amp; 3 amp; -1 amp; 1 amp;10;\endpmatrix$

Нужно отыскать собственные числа и собственные вектора этой матрицы. Собственные числа находим из уравнения det(A - E) = 0:
$\det (A-\lambda E)=\beginvmatrix1-\lambda amp; -1 amp; 3 amp; -2 \\ -1 amp; 1-\lambda amp; -2 amp; 3 \\ 3 amp; -2 amp; 1-\lambda amp; -1 \\ -2 amp; 3 amp; -1 amp; 1-\lambda\endvmatrix=\dots$

Прибавим к первой строке все другие строчки, после вынесения общего множителя обнулим 1-ый столбик во всех строчках, кроме первой:
$\dots=\beginvmatrix1-\lambda amp; 1-\lambda amp; 1-\lambda amp; 1-\lambda \\ -1 amp; 1-\lambda amp; -2 amp; 3 \\ 3 amp; -2 amp; 1-\lambda amp; -1 \\ -2 amp; 3 amp; -1 amp; 1-\lambda\endvmatrix=\\=(1-\lambda)\beginvmatrix1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 \\ -1 amp; 1-\lambda amp; -2 amp; 3 \\ 3 amp; -2 amp; 1-\lambda amp; -1 \\ -2 amp; 3 amp; -1 amp; 1-\lambda\endvmatrix=\\=(1-\lambda)\beginvmatrix1 amp; 1 amp; 1 amp; 1 \\ 0 amp; 2-\lambda amp; -1 amp; 4 \\ 0 amp; -5 amp; -2-\lambda amp; -4 \\ 0 amp; 5 amp; 1 amp; 3-\lambda\endvmatrix=\dots$

Раскладываем определитель по первому столбцу. Опустим пока множитель (1 - ), сложим прибавим к третьей строчке вторую, вынесем общий множитель и обнулим 3-ий столбец всюду, кроме последней строки:
$\dfrac\dots(1-\lambda)=\beginvmatrix2-\lambda amp; -1 amp; 4 \\ -5 amp; -2-\lambda amp; -4 \\ 5 amp; 1 amp; 3-\lambda\endvmatrix=\beginvmatrix2-\lambda amp; -1 amp; 4 \\ -5 amp; -2-\lambda amp; -4 \\ 0 amp; -1-\lambda amp; -1-\lambda\endvmatrix=\\=(-1-\lambda)\beginvmatrix2-\lambda amp; -1 amp; 4 \\ -5 amp; -2-\lambda amp; -4 \\ 0 amp; 1 amp; 1\endvmatrix=(-1-\lambda)\beginvmatrix2-\lambda amp; -5 amp; 0 \\ -5 amp; 2-\lambda amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 1\endvmatrix=\dots$

Раскладываем определитель по третьему столбцу, после отбрасывания множителей остается определитель матрицы 2x2, который равен
$(2-\lambda)^2-(-5)^2=(-3-\lambda)(7-\lambda)$

Итак,
$\det (A-\lambda E)=(1-\lambda)(-1-\lambda)(-3-\lambda)(7-\lambda)=0\\amp;10;\lambda_1,2,3,4\in\\pm 1,-3,7\$

Обретаем собственные векторы:
1) с.ч. = 1
Сумма всех строк одинакова 0, выкинем последнюю. Приведем матрицу к благовидному виду (насколько сможем):
$A-E=\beginpmatrix 0 amp; -1 amp; 3 amp; -2 \\ -1 amp; 0 amp; -2 amp; 3 \\ 3 amp; -2 amp; 0 amp; -1 \\ -2 amp; 3 amp; -1 amp; 0 \endpmatrix\sim \beginpmatrix 0 amp; -1 amp; 3 amp; -2 \\ -1 amp; 0 amp; -2 amp; 3 \\ 3 amp; -2 amp; 0 amp; -1 \endpmatrix\sim \\\sim \beginpmatrix 1 amp; 0 amp; 2 amp; -3 \\ 0 amp; -1 amp; 3 amp; -2 \\ 0 amp; -2 amp; -6 amp; 8 \endpmatrix \sim \beginpmatrix 1 amp; 0 amp; 2 amp; -3 \\ 0 amp; -1 amp; 3 amp; -2 \\ 0 amp; 1 amp; 3 amp; -4 \endpmatrix \sim \beginpmatrix 1 amp; 0 amp; 0 amp; -1 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; -1 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; -1 \endpmatrix$

Из полученного вида матрицы получаем, что уравнению удовлетворяют все вектора вида (a, a, a, a); с.в. (1, 1, 1, 1)

2) c.ч. = -1
$A+E=\beginpmatrix 2 amp; -1 amp; 3 amp; -2 \\ -1 amp; 2 amp; -2 amp; 3 \\ 3 amp; -2 amp; 2 amp; -1 \\ -2 amp; 3 amp; -1 amp; 2 \endpmatrix\sim \beginpmatrix 1amp;0amp;0amp;1\\0 amp; 1 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; -1 \endpmatrix$
с.в. (1, 1, -1, -1)

3) с.ч. = -3
$A+3E=\beginpmatrix 4 amp; -1 amp; 3 amp; -2 \\ -1 amp; 4 amp; -2 amp; 3 \\ 3 amp; -2 amp; 4 amp; -1 \\ -2 amp; 3 amp; -1 amp; 4 \endpmatrix\sim \beginpmatrix 1amp;1amp;0amp;0\\0 amp; 1 amp; -1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 1 \endpmatrix$
с.в. (1, -1, -1, 1)

4) с.ч. = 7
$A-7E=\beginpmatrix -6 amp; -1 amp; 3 amp; -2 \\ -1 amp; -6 amp; -2 amp; 3 \\ 3 amp; -2 amp; -6 amp; -1 \\ -2 amp; 3 amp; -1 amp; -6 \endpmatrix\sim \beginpmatrix 1amp;1amp;0amp;0\\0 amp; 1 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 1 \endpmatrix$
c.в. (1, -1, 1, -1)

Собственные вектора уже ортогональны, но еще не отнормированы. Длина каждого одинакова 1/2, так что конечно получаем, что под деяньем подмены
$\beginpmatrixx_1\\x_2\\x_3\\x_4\endpmatrix=\beginpmatrix\frac12amp;\frac12amp;\frac12amp;\frac12\\\frac12amp;\frac12amp;-\frac12amp;-\frac12\\\frac12amp;-\frac12amp;-\frac12amp;\frac12\\\frac12amp;-\frac12amp;\frac12amp;-\frac12\endpmatrix\beginpmatrixy_1\\y_2\\y_3\\y_4\endpmatrix$
(по столбцам записаны собственные векторы) квадратичная форма воспримет вид
$y_1^2-y_2^2-3y_3^2+7y_4^2$

О проекте

Привести квадратичную форму к каноническому виду способом ортогональных

Добро пожаловать!