Для каждого числа от 1 до 99 выписали сумму его цифр.

Будем считать, что числа начинаются с нуля - суммы это не изменит, а считать будет немножко проще, не считая того, для конкретных чисел допишем вперед незначащий ноль.
Запишем числа в таблицу от 00 до 99:

Сложим раздельно сумму цифр, стоящих в разряде единиц, и сумму цифр, стоящих в разряде 10-ов.

1) Единицы:
в каждой строке числа оканчиваются на 0, 1, 2, ..., 9.
Сумма единиц в каждой строке 45, всего строк 10, как следует, сумма 45 * 10 = 450

2) Десятки:
в каждом столбце числа начинаются на 0, 1, 2, ..., 9.
Сумма 10-ов в каждом столбце 45, всего столбцов 10, как следует, сумма 45 * 10 = 450

Сумма всех цифр = 450 + 450 = 900