Найдите f(1000), если f(x+3)=f(x)+x7 для всех реальных x, и f(1)=1.

Ответ: 163837

Пошаговое изъясненье:

Представим формулу следующего члена в виде

f(x + 3) - f(x) = x - 7

Просуммируем правые и левые части этого равенства, начиная с

f(1000) - f(997) = 997 - 7

и заканчивая

f(4) - f(1) = 1 - 7

Получим справа f(1000) - f(1),

а слева сумму чисел вида (3i - 2) - 7, где i меняется от 1 до 333

Т.е. это сумма арифметической прогрессии с разностью d = 3,

состоящей из 333 членов, где 1-ый член равен -6, а заключительный 990

Ее сумма равна:

f(1000)-f(1)=163836

f(1000)=163837