на доске выписаны все натуральные числа от 1 до 16 без

Явно, что если abgt;0, то a-b+1=a-(b-1) не может быть больше, чем a. Другими словами, за каждый ход мы убираем два числа, сменяя их на одно ненулевое, но не большее, чем каждое из убранных. Поэтому, больше 16 мы получить не можем. Если последняя операция будет 16-1+1, мы получим 16. Но можем ли мы этого добиться? 

Заметим, что всего будет изготовлено 15 шагов. Сумма всех чисел вначале была четным числом, так как посреди них четное число нечетных. Вероятные финалы каждой операции: если оба числа четные, на выходе нечетное число. Если оба числа нечетные, на выходе тоже нечетное число. Если числа различной четности, на выходе будет четное число. В итоге после каждого хода четность суммы всех чисел меняется. За 1-ые 14 шагов (четное число шагов) в итоге мы вернемся к  четной сумме. Поэтому получить числа 16 и 1 не получится. Получить же 16 и 2 легко. Для этого 15 и 14 заменяем на  15-14+1=2, 13 и 12 на 2, 11 и 10 на 2, 9 и 8 на 2, 7 и 6 на 2, 5 и 4 на 2, 3 и 2 на 2. Получаем числа 16, семь двоек и одну единицу. 6 двоек соединяем в пары, каждая из их даст единицу. Получаем 16, одну двойку и четыре единицы. Четыре единицы, разбитые на пары, дадут две единицы, потом эти две единицы дадут одну единицу. Двойка с полученной единицей дадут двойку, после чего получаем образцовую позицию: 16 и 2. Окончательно они дадут 16-2+1=15.

Ответ: 15