Трое ребят замыслили по двузначному числу. Потом каждые два сыграли в

Рассмотрим ситуацию меж 2-мя юношами. Пусть один замыслил двузначное число, которое состоит из цифр A и B, а у другого число состоит из цифр C и D. Найдём разницу (A-C) и (B-D), которая определяет сколько щелчков один даст другому. Кто кому сколько - это неважно. Важно, что надо просуммировать все щелчки:
(A-C) + (B-D) = (A+B) - (C+D)
Оказывается, сумма щелчков равна разнице меж суммой цифр чисел, задуманных 2-мя мальчиками. Поэтому, разглядывая только суммы цифр чисел, задачку можно упростить, практически перейдя к рассмотрению только некоторых загаданных чисел.

Начнём разглядывать ситуацию с 3-мя юношами. Вероятны 4 варианта:

1) Все три мальчугана (М1, М2 и М3) замыслили Нечётное число (Н);
Найдём разницу (М1-М2) = Чётное (Ч), (М2-М3) = Чётное (Ч) и (М3-М1) = Чётное (Ч). Т.е. все три различия будут чётными числами, сумма которых число тоже чётное.

2) Все три мальчика замыслили Чётное число (Ч);
Находим разницу (М1-М2) = Ч, (М2-М3) = Ч и (М3-М1) = Ч. Все три различия являются чётными числами, значит их сумма тоже число чётное. Кстати, порядок вычитания неважен, считайте, что все различия берутся по модулю.

3) Два мальчика замыслили Чётное число (Ч), один - Нечётное (Н);
Для определённости считаем, что Чёт у первых 2-ух, т.к нет никакого различия, откуда начнём считать
(М1-М2) = Ч - Ч = Ч; (М2-М3) = Ч - Н = Н; (М3-М1) = Н - Ч = Н
Суммируем, Ч + Н + Н = Ч
Вновь, число чётное.

4) Два мальчугана замыслили Нечётное число (Н), один - Чётное (Ч);
Рассуждаем аналогично, вновь пусть у первых 2-ух мальчиков Нечет.
(М1-М2) = Н - Н = Ч; (М2-М3) = Н - Ч = Н; (М3-М1) = Ч - Н = Н
Суммируем, Ч + Н + Н = Ч
Опять сумма чётная.

Т.к. при всех загаданных числа, в итоге выходит число Чётное, то никак не получится так, чтобы мальчишке в сумме дали друг другу 19 щелчков.

Ответ: Нет, не могло так случиться