воспитанник 5 "ю" класса Никита произнес учительнице,что сумеет написать 17 нечетных

Очевидно, усомнится. И верно сделает..))
Сумма нечетного количества нечетных чисел есть число нечетное, и ни при каких критериях 2010 равняться не может.

Если число нечетное, то его можно представить в виде:
          m = 2k+1, где kZ (огромному количеству целых чисел)
Так как 2k - всегда четно, то нечетное количество единиц (17)
даст в сумме нечетное число, и, как следствие, - сумма нечетного
и четного чисел есть число нечетное.