Даны координаты вершин пирамиды А1 А2 А3 А4.Выстроить пирамиду.Отыскать: 1) длину

Даны координаты пирамиды: A1(2,-2,1), A2(10,2,2), A3(6,1,2), A4(8,4,4)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 10-2; Y = 2-(-2); Z = 2-1
A1A2(8;4;1)
A1A3(4;3;1)
A1A4(6;6;3)
A2A3(-4;-1;0)
A2A4(-2;2;2)
A3A4(2;3;2)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
a = (X+Y+Z).
Длина ребра А1А2 одинакова:
А1А2 = ((8 + 4 + 1) = (64 + 16 + 1)  = 81 = 9.

2) Найдем угол меж ребрами A1A2(8;4;1) и A1A4(6;6;3):
cos  = (8*6+4*6+1*3)/(9*9) = (48+24+4)/81 = 76/81 =  0,925926. 
= arccos(0.925926) = 0,387317 радиан = 22,19161. 
3) Площадь грани А1А2А3.
Площадь грани можно отыскать по формуле:
S = (1/2)*a*b*sin ,
где sin  = (1 - cos).

Найдем площадь грани A1A2A3
Найдем угол меж ребрами A1A2(8;4;1) и A1A3(4;3;1):
cos  = (8*4+4*3+1*1)/(9*26) =  45/45,89118 = 0,980581.
sin  = (1 -  0,980581) = 0,196116.
Площадь грани A1A2A3 одинакова:
S = (1/2)*9*26*0,196116 = 4,5 кв.ед.
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного творенья:
Векторное творенье:
 i       j       k
8      4      1
4      3      1  =
= i(4*1-3*1) - j(8*1-4*1) + k(8*3-4*4) = i - 4j + 8k.
S = (1/2)*(1+4+8) = (1/2)*81 = 4,5 кв.ед.

4) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
               X1   Y1    Z1
 (1/6)*    X2    Y2    Z2
              X3    Y3   Z3 =

           = 8       4     1
              4       3     1
              6       6     3
Обретаем определитель матрицы
= 8*(3*3-6*1)-4*(4*3-6*1)+6*(4*1-3*1) = 6.
V = (1/6)*6 = 1 куб.ед.