почему ни один из четких квадратов не оканчивается цифрой 2,3,7,8

Цифра, которой заканчивается число одинакова остатку этого числа при разделеньи на 10. Точный квадрат целого числа - число неотрицательное, его (четкий квадрат) можно представить как квадрат неотрицального числа.
Любое неотрицательное число x представимо в виде:

x = 10 * a + b, где b - цифра (целое число от 0 до 9), а число a  0.

Посмотрим, на что может заканчиваться число x:
x=100*a+20*a*b+b
1-ые два слагаемых делятся на 10, потому заканчиваются на 0, а означает x заканчивается на ту же цифру, на которую заканчивается b

По другому говоря, квадрат числа заканчивается на ту же цифру, на которую заканчивается квадрат последней числа этого числа.
Переберем все числа и тем самым найдем, на что может заканчиваться квадрат числа:
0=0 - заканчивается на 0
1=1 - оканчивается на 1
2=4 - заканчивается на 4
3=9 - оканчивается на 9
4=16 - заканчивается на 6
5=25 - заканчивается на 5
6=36 - заканчивается на 6
7=49 - оканчивается на 9
8=64 - заканчивается на 4
9=81 - заканчивается на 1

Отсюда видно, что точный квадрат не может заканчиваться на 2, 3, 7 и 8