Пусть S(n) означает сумму цифр натурального числа n. Сколько решений имеет

Сумма цифр числа дает таковой же остаток при разделеньи на 3, что и само число, поэтому в введеных в условии определениях
имеет такой же остаток, что и n при разделении на 3 (k - случайное естественное число).
Пусть n дает остаток t при делении на 3. Левая часть равенства дает остаток
2016 * t
при разделении на 3.
2016 делится на 3, потому сумма
делится на 3 для хоть какого n.
2017 дает остаток 1 при делении на n, а означает

также дает остаток 1 при делении на 3.
Левая и правая части равенства имеют различные остатки при разделеньи на 3, потому решений нет.

Ответ: уравнение имеет 0 решений