y039;039;+2y039;+y=x^2e^-x решите пожалуйста

Question

Вопросы-ответы » Математика

y039;039;+2y039;+y=x^2e^-x решите пожалуйста

Y''+2y'+y=x^2e^-x решите пожалуйста

Задать свой вопрос

Вадим Надирян
Математика
2019-06-08 04:13:25
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Отличительные черты quot;Эпохи романтизмаquot;. Помогите, необходимо доклад написать.

Маша из иваново хочет получить 1ш. 25 см quot;Мы нагие медведи

старший брат и младший брат и сестра слепили снеговика за 12

до магазину привизли 12 коробок цефру масою по 3 кг кожна

Пожалуйста! Задание по риторике! Дам 99 раутов, только помогите!Скажите разные жанры

9.healthy and unhealthy food for me .

Какой город значит на атласе каждый градус

Помогите написать сочинение рассуждение на тему плюсы и минусы компьютерных игр

какие признаки характерны семейству капустных?

Юрий Лехтер · Answer 1 · 2019-06-08 04:17:21+3:00

Запишем по определению дифференциала:
$\dfracd^2ydx^2 +2\cdot \dfracdydx +y=x^2e^-x$
Данное дифференциальное уравнение будет иметь собой сумму дополнительного и определенного решения. Найдём дополнительное решение:
$\dfracd^2ydx +2\cdot \dfracdydx +y=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\star)$
Пусть $e^ \beta x=y$ , где $\beta$ - константа.Получаем:
$\dfracd(e^ \beta x)dx^2+2\cdot\dfracd(e^ \beta x)dx+e^ \beta x=0\\ \\ \beta ^2e^ \beta x+2 \beta e^ \beta x+e^ \beta x=0\\e^ \beta x( \beta ^2+2 \beta +1)=0$
Творение одинаково нулю, значит:
$e^ \beta x=0$ - уравнение решений не имеет.
$\beta ^2+2 \beta +1=0\\ ( \beta +1)^2=0\\ \beta_1,2 =-1$
Возвращаемся к подмене:
$y_1=c_1e^-x\\ y_2=c_2e^-x$

Тогда общее решение уравнения $(\star)$ :
$y=y_1+y_2=c_1e^-x+c_2e^-x$

Сейчас нужно решить уравнение
$\dfracd^2ydx^2 +2\cdot \dfracdydx +y=x^2e^-x$
Конкретное решение этого уравнения:
$y_k=x^2( \alpha _1e^-x+ \alpha _2e^-x+a_3x^2e^-x)$
Дифференцируем по $x$ , то есть будем иметь:
$\dfracdy_kdx = \dfracddx (x^2( \alpha _1e^-x+ \alpha _2e^-x+a_3x^2e^-x))= \\ \\ =- \alpha _1x^2e^-x+2 \alpha _1xe^-x- \alpha _2x^3e^-x+3 \alpha _2x^2e^-x- \alpha _3x^4e^-x+4 \alpha _3x^3e^-x$

Дифференцируем опять по $x:$
$\dfracd^2y_kdx^2 = \alpha _1(2e^-x+x^2e^-x-4xe^-x)+ \alpha _2(x^3e^-x-6x^2e^-x+6xe^-x)+\\\\ + \alpha _3(x^4e^-x-8x^3e^-x+12x^2e^-x)$

Подставим приватное решение в данное дифференциальное уравнение:
$\dfracd^2y_kdx_2 +2\cdot \dfracdy_kdx +y_k=e^-xx^2$
После упрощений с сходственными слагаемыми в левой части уравнения, мы придём к такому уравнению:
$2 \alpha _1e^-x+6 \alpha _2xe^-x+12 \alpha _3x^2e^-x=x^2e^-x\\ \\ \begincasesamp;10; amp; \text 2 \alpha _1=0 \\ amp;10; amp; \text 6 \alpha _2=0 \\ amp;10; amp; \text 12 \alpha _3=1 amp;10;\endcases\Rightarrow\begincasesamp;10; amp; \text \alpha _1= 0\\ amp;10; amp; \text \alpha_2=0 \\ amp;10; amp; \text \alpha _3= \dfrac112 amp;10;\endcases$
$y_k= \frac112x^4e^-x$ - конкретное решение.

Общее решение дифференциального уравнения:
$y= \dfrac112 e^-x(x^4+c_1+xc_2)$

О проекте

y039;039;+2y039;+y=x^2e^-x решите пожалуйста

Добро пожаловать!