Найти общие решение дифференциальных уравнений

Question

Отыскать общие решение дифференциальных уравнений

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Тимур Шмид-Хиром · Answer 1 · 2019-06-09 01:05:46+3:00

Это линейное неоднородное диффиренциальное уравнение вида $y' + y*P(x) = Q(x)$

Для начала надобно отыскать решение соотв. однородного дифф-урафнения $y' + y*P(x) = 0$

$x^2y'+2xy=-4\\y'+\frac2xy=-\frac4x^2\\$

Однородное: $y'+\frac2xy=0$

$y'=-\frac2xy\\\fracdydx=-\frac2xy\\\fracdyy=-\frac2xdx\\$

$\int \frac1y \, dy = -2\int \frac1x \, dx\\\lny + C_1 = -2\lnx\\\lny = \lnC + \lnx^-2, \lnC = -C_1\\y = C*x^-2$

Сейчас найдём решение неоднородного уравнения:

Представим С как функцию от X. $y = C(x)*x^-2\\$

Подставим в исходное уравнение:

$(C(x)*x^-2)'+\frac2x(C(x)*x^-2)=-\frac4x^2\\C'(x)*x^-2 = -\frac4x^2\\C'(x) = -4\\dC = -4dx\\C(x) = -4x + C_2\\$

Решение:

$y = (-4x + C_2)*\frac1x^2\\y = -\frac4x + \fracC_2x^2$