Сумма n чисел одинакова 0, сумма их модулей одинакова a. Докажите,

Question

Сумма n чисел одинакова 0, сумма их модулей равна a. Докажите, что разность меж наивеличайшим и минимальным из их не меньше 2a/n.

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Алиса · Answer 1 · 2019-06-15 06:04:47+3:00

Пусть это числа

$a_1\leqslant a_2\leqslant\dots\leqslant a_k\leqslant 0lt;a_k+1\leqslant a_k+2\leqslant\dots\leqslant a_n$

Заметим, что если сумма всех чисел одинакова 0, то сумма положительных чисел обязана быть равна сумме неположительных, а суммы модулей одинаковы:

$a_1+a_2+\dots+ a_k=-(a_k+1+\dots+a_n)\\a_1+a_2+\dots a_k=a_k+1+\dots+a_n$

Так как сумма модулей всех чисел одинакова a, то сумма модулей только положительных либо только неположительных чисел равна a/2.

Оцениваем по принципу Дирихле:

$-a_1=a_1\geqslant \dfraca_1+\dots+a_kk=\dfrac a2k\\a_n=a_n\geqslant \dfraca_k+1+\dots+a_nn-k=\dfrac a2(n-k)$

Складываем и получаем

$a_n-a_1\geqslant\dfraca2k+\dfraca2(n-k)=\dfracan2k(n-k)=\dfraca2n\cdot\frac kn(1-\frac kn)$

Функция f(x) = x(1 - x) - квадратичная, воспринимает наибольшее значение в верхушке параболы, оно равно f(1/2) = 1/4. Тогда

$a_n-a_1\geqslant\dfraca2n\cdot\frac kn(1-\frac kn)\geqslant\dfraca2n\cdot\frac14=\dfrac2an$