Найдите значения а, при каждом из которых уравнение x^2+(a+4)^2=x-4-a+x+a+4 имеет 1

Заметим, что если x - корень уравнения, то и -x - корень уравнения. Так как корень уравнения обязан быть всего один, то это x = 0. Подставляем:
0 + (a + 4)^2 = 0 - 4 - a + 0 + a + 4
(a + 4)^2 = 2a + 4
a + 4^2 - 2a + 4 = 0
a + 4 * (a + 4 - 2) = 0
a + 4 = 0 либо a + 4 = 2
a = -4 либо a = -6 или a = -2

Проверяем, что при таких значениях a вправду выходит один корень.
1) a = -4. 
x^2 = 2x - есть не только корень x = 0, но и x = +-2, не подходит
2) a = -6, a = -2
x^2 + 4 = x + 2 + x - 2
Если -2 lt;= x lt;= 2, то уравнение равносильно такому: x^2 + 4 = 4, корень x = 0
Если x gt; 2, то уравнение выходит таким: x^2 + 4 = 2x, у этого уравнения нет корней.
Итого, при таких a выходит единственный корень.

Ответ. a = -6 либо a = -2.