изучить функцию двух переменных на экстремум:z=3[tex] x^2 [/tex]-xy+2[tex]y^2

Z = 3x^2 - xy + 2y^2 - 5x - 3y + 4

Нужное условие экстремума: производные обе одинаковы 0
dz/dx = 6x - y - 5 = 0
dz/dy = 4y - x - 3 = 0
Умножаем 1 уравнение на 4
24x - 4y - 20 = 0
-x + 4y - 3 = 0
Складываем уравнения
23x + 0y - 23 = 0
x = 1
y = 6x - 5 = 6 - 5 = 1
z(1, 1) = 3*1 - 1*1 + 2*1 - 5 - 3 + 4 = 0

Достаточное условие экстремума. Найдем вторые производные.
A = d2z/dx^2 = 6 gt; 0; B = d2z/dxdy = -1; C = d2z/dy^2 = 4
D = A*C - B^2 = 6 * 4 - (-1) = 25 gt; 0
Так как D gt; 0 и A gt; 0 - это точка минимума.
Если бы было D gt; 0 и A lt; 0 - это была бы точка максимума.
Если бы было D lt; 0 - это вообщем не был бы экстремум.

Ответ: M0(1; 1; 0) - точка минимума.