Отыскать общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

1) Обретаем общее решение однородного уравнения Yоо. Сочиняем характеристическое уравнение:
k+1=0 k=-1k1=i, k2=-i. Тогда общее решение Yоо=С1*cos(x)+C2*sin(x).
2) Находим приватное решение неоднородного уравнения Yчн. Правая часть уравнения имеет вид f(x)=a*sin(b*x), где a=4 и b=3. Так как при этом числа 3*i и -3*i не являются корнями характеристического уравнения, то Yчн=A*cos(3*x)+B*sin(3*x). Тогда Y'чн=-3*A*sin(3*x)+3*B*cos(3*x), Y''чн=-9*A*cos(3*x)-9*B*sin(3*x). Так как Y''чн+Yчн=4*sin(3*x), то приходим к уравнению -9*A*cos(3*x)-9*B*sin(3*x)+A*cos(3*x)+B*sin(3*x)=-8*A*cos(3*x)-8*B*sin(3*x)=4*sin(3*x), откуда A=0 и -8*B=4, т. е. B=-1/2. Тогда Yчн=-1/2*sin(3*x). и общее решение имеет вид Y=C1*cos(x)+C2*sin(x)-1/2*sin(3*x). Ответ: Y=C1*cos(x)+C2*sin(x)-1/2*sin(3*x).