Высшая математика.Дифференциальные уравнения

Высшая математика.Дифференциальные уравнения

Задать свой вопрос
1 ответ
y^IV-y''=0
Это однородное уравнение четвёртого порядка. Перейдем к характеристическому уравнению, сделав подмену y=e^kx, имеем

k^4-k^2=0\\ k^2(k^2-1)=0\\ k_1=0\\k_2=0\\ k_3=1\\ k_4=-1

Общее решение - y=C_1+xC_2+C_3e^x+C_4e^-x

2(y')^2=(y-1)y''
Это дифференциальное уравнение второго порядка независимое очевидным образом от самостоятельной переменной х. То есть, порядок производной может быть понижен с подмогою подмены y'=p(y),\,\,\,\, y''=p*p'(y)

2p^2=(y-1)p*p'\\ 2p=(y-1)p'
А это уравнение с разделяющимися переменными

p'= \frac2py-1 \\ \\  \fracdpdy =\frac2py-1 \\ \\  \fracdp2p = \fracdyy-1

Интегрируя обе доли уравнения, получаем:

 \frac12 \lnp=\lny-1+\lnC\\ p=C(y-1)^2

Сделаем обратную подмену
y'=C(y-1)^2\\ \\  \fracdy(y-1)^2 =dx
Интегрируя обе доли, имеем

C_2- \dfrac1C_1(y-1) =x - общий интеграл (ответ)

y'=(2y+1)ctg x
Явно, что данное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. 
Переходя к дифференциалам, имеем
 \fracdydx =(2y+1)ctg x\\ \\  \fracdy2y+1 =ctg dx

Интегрируя обе части уравнения, получаем:

\displaystyle   \frac12\ln2y+1=\int\limits  \, \fracd(\sin x)\sin x  \\ \\ \\  \ln \sqrt2y+1 =\ln C\sin x\\ \\ y= \fracC^2\sin^2x-12
, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт