на доске были написаны числа 1 2 3 4 5 6

Я думаю, самое малюсенькое число 1 + 2 = 3.
Или вы имеете ввиду сумму всех чисел?

Если два числа отличаются на 2 или более, то после прибавлений они не могут быть одинаковы. Посреди чисел есть 5 чисел, никакие 2 из которых не будут одинаковы:1, 3, 5, 7, 9, - потому различных результатов не меньше 5. 

Ровно 5 их будет, например, если прибавить 2 к нечётным и 3 к чётным, посреди результатов: 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, 12 - только 5 различных