Количество методов выбрать три различных числа из целых чисел 1, 2,

Заметим, что сумма 3 целых чисел делится на 3, если все они имеют одинаковые остатки при делении на 3, или все они имеют разные остатки при дроблении на 3. Если два числа имеют одинаковые остатки, а третье число имеет иной остаток, сумма на 3 делиться не будет.

Найдем число способов избрать 3 различных числа с различными остатками. Оно одинаково 8*8*8=512 нужно избрать одно из 8 чисел с остатком 1, одно из 8 чисел с остатком 2 и одно из 8 чисел с остатком 0. Найдем число способов избрать 3 разных числа, делящихся нацело на 3. Оно одинаково числу сочетаний из 8 по 3 либо 8*7*6/3!=56. Светло, что число методов избрать 3 числа с остатком 1 либо 2 также равно 56, потому общее число методов выбрать 3 различных числа с схожими остатками от деления на 3 равно 56*3=168.

Таким образом, всего существует 512+168=680 методов выбать 3 числа требуемым образом.