прямоугольный лист 210 мм на 300 мм нужно разрезать без остатка

Пусть ширина искомого прямоугольника одинакова Х мм (не обязательно целое). Тогда его площадь одинакова 2Х. Таким образом, площадь будет максимальна, если Х - очень. Так как длина в 2 раза больше ширины, то при любом разрезании удовлетворяющем условию, в исходный лист обязано уложиться целое число квадратиков ХХ (а означает Х обязано улечся вдоль каждой стороны целое число раз), т.е. 297=nX и 210=mX, где n,m - натуральные. Тогда X=297/n=210/m, откуда n=297m/210=99m/70. Так как 99 и 70 - взаимно обыкновенные, то чтобы n было целым, m обязано быть кратно 70. Не считая того, чтоб Х было наибольшим n и m обязаны быть мало вероятными, т.е. m=70, n=99, X=3. Т.е. имеем прямоугольники 3 мм 6 мм площадью 18 мм.

Явно, что такое разрезание вероятно: 35 прямоугольников 63 укладываем длинноватой стороной вдоль края листа длиной 210=6*35 мм. 99 таких рядов по 35 прямоугольников дают целый лист длиной 99*3=297 мм. Итак, ответ: наибольшая площадь у прямоугольника 36=18 мм.