В треугольнике АВС со гранями 13,14 и 15 Н,М и Л-точки

Дан треугольник АВС со гранями АВ =13, ВС =14 и АС =15.
Н, М и Л-точки пересечения его высот, медиан и биссектрис.

Поместим этот треугольник в прямоугольную систему координат точкой А в начало и стороной АС по оси Ох.
Координаты точек А и С знамениты:
А(0; 0),
С(15; 0).
По аксиоме косинусов найдём косинус, а затем и синус угла А и найдём координаты точки В: Хв = АВ*cos A, Yв = АВ*sin A.
cos A = (13+15-14)/(2*13*15) = 198/390 = 33/65  0,507692.
sin A = (1 - cos A) =  (3136/4225) = 56/65  0,861538.
Отсюда получаем В(6,6; 11,2).

Координаты центроида (точка скрещения медиан):
М(Хм;Ум) = (Ха+Хв+Хс)/3;  Уа+Ув+Ус)/3 = (7,2; 3,7333).

Центр вписанной окружности - точка Л скрещения биссектрис.
Хл = ( ВС*Ха+АС*Хв+АВ*Хс)/Р = 7
Ул = (ВС*Уа+АС*Yв+АВ*Ус)/Р = 4.
Тут периметр Р = 42.

Точку Н пересечения высот обретаем как точку скрещения высот их точек А и С.
АА: (Х-Ха) (У-Уа)
--------- = ---------
(Хв-Хс   (Ус-Ув)
АА: -8,4 Х + 11,2 У + 0 = 0     уравнение общего вида,
АА: у = 0,75 х + 0      уравнение с коэффициентом.

СС: Х-Хс    У-Ус
-------- = ---------
Ха-Хв     Ув-Уа
СС:  -6,6 Х - 11,2 У + 99 = 0    уравнение общего вида,
СС:   у = -0,589286 х + 8,8392857 уравнение с коэффициентом.
В итоге решения системы из двух приобретенных уравнений находим координаты точки Н: Точка Н: x = 6,6,
  y = 4,95.
По приобретенным координатам данных точек находим длины отрезков треугольника НМЛ и по формуле Герона обретаем его площадь.
л   н    м p 2p S
1,35657 0,33333 1,03078 1,360339 2,720678    0,04166666
cos Л = -0,97014 сos Н = 0,998223 cos М = 0,982872187
Лrad = 2,896614     Нrad = 0,059631    Мrad = 0,18534795
Лgr = 165,9638 Hgr = 3,416588    Мgr = 10,61965528 .

Ответ: площадь треугольника НМЛ равна 0,04166666 кв.ед.

О проекте

В треугольнике АВС со гранями 13,14 и 15 Н,М и Л-точки

Добро пожаловать!