вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x=y^2-2y, y=-x

Строим график, фигура на картинке.Голубым цветом x=(y-2)y, розовым y=-x
По определению площадь считается двойным интегралом по dxdy, остаётся определиться с границами интегрирования. Смотрим на картину и считаем:
$\int\limits^0_-1 \, dx \int\limits^-x_1- \sqrtx+1 \, dy$
Как избрали пределы интегрирования? Смотрим на рисунок. В данной фигуре x меняется от -1 до 0, переменная y меняется от параболической функции до прямой. Ровная y=-x, а в параболе выражаем y через x, получаем нижний предел интегрирования. Остаётся взять интеграл:
$\int\limits^0_-1 \, dx \int\limits^-x_1- \sqrtx+1 \, dy=\int\limits^0_-1 (-x+ \sqrtx+1-1) \, dx= \frac16$
По dy берётся без проблем, по dx распадается на три табличных интеграла

О проекте

вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями x=y^2-2y, y=-x

Добро пожаловать!