Почему на 0 разделять нельзя?

Поэтому что есть такое верховодило, которое мы принимаем за правду

Почему нельзя разделять на ноль?

Набросок Е.В.
Разделять на ноль нельзя! большая часть школьников заучивает это верховодило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое нельзя и что будет, если в ответ на него спросить: Почему? А ведь на самом деле очень занимательно и главно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре деяния математики сложение, вычитание, умножение и разделение на самом деле неравноправны. Математики признают всеполноценными только два из их сложение и умножение. Эти операции и их свойства врубаются в само определение понятия числа. Все другие деянья строятся тем либо иным образом из этих двух.

Осмотрим, к примеру, вычитание. Что означает 5 3? Школьник ответит на это просто: надобно взять пять предметов, отнять (убрать) три из их и посмотреть, сколько остается. Но вот арифметики смотрят на эту задачу совершенно по-иному. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Потому запись 5 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5. То есть 5 3 это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5. В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задачка отыскать подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8 : 4 можно разуметь как итог разделения восьми предметов по четырем одинаковым кучкам. Но в реальности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 x = 8.

Вот здесь-то и становится ясно, почему нельзя (а поточнее невероятно) разделять на ноль. Запись 5 : 0 это сокращение от 0 x = 5. То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда выходит 0. Это неотъемлемое свойство нуля, взыскательно разговаривая, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то не считая нуля, просто не существует. То есть наша задачка не имеет решения. (Да, такое посещает, не у всякой задачки есть решение.) А означает, записи 5 : 0 не подходит никакого определенного числа, и она просто ничего не означает и поэтому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, разговаривая, что на ноль разделять нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль разделять на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 x = 0 благополучно решается. Например, можно брать x = 0, и тогда получаем 0 0 = 0. Выходит, 0 : 0=0? Но не будем торопиться. Попробуем брать x = 1. Получим 0 1 = 0. Верно? Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований приостановить свой выбор на каком-то одном из их. То есть мы не можем сказать, какому числу подходит запись 0 : 0. А раз так, то мы принуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе посещают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно дать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 x = 0; в таких случаях арифметики разговаривают о раскрытии неопределенности, но в математике таких случаев не встречается.)

Вот такая необыкновенность есть у операции деления. А поточнее у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые въедливые, дочитав до этого места, могут спросить: почему так выходит, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В неком смысле, конкретно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.