Изучить функцию y= xln^2 x, выстроить схематично ее график.

Схема исследования функции:
1) Область определения D(X) = (0; +oo) (из-за логарифма).
2) Четность - ни четная, ни нечетная. Функция общего вида.
3) Периодичность. Непериодическая.
4) Непрерывность. Постоянна на всей обрасти определения.
5) Нули функции. x*ln^2 x = 0
x gt; 0, можно на него разделить
ln^2 x = 0; ln x = 0; x = 1
6) Критичные точки.
y ' = ln^2 x + x*2ln x*(1/x) = ln^2 x + 2ln x = ln x*(ln x + 2) = 0
ln x = 0; x1 = 1; y(1) = 0 - минимум
ln x = -2; x2=1/e^20,135; y(1/e^2)=1/e^2*(-2)^2=4/e^20,541 - максимум
7) Промежутки монотонности.
При x (0; 1/e^2) будет y ' gt; 0 - подрастает
При x (1/e^2; 1) будет y ' lt; 0 - убывает
При x (1; +oo) будет y ' gt; 0 - вырастает
8) Точки перегиба.
y '' = 1/x*(ln x + 2) + ln x*1/x = 2/x*ln x + 2 = 0
Разделяем всё на 2
1/x*ln x + 1 = 0
1/x*ln x = -1
ln x = -x
x0 0,567 - это можно отыскать только подбором либо графически.
Никаких формул для нахождения корня тут нет.
y(x0) = x0*ln^2 (x0) = x0*(-x0)^2 = x0^3 0,182
9) Промежутки неровности и вогнутости.
При x (0; 0,567) будет y '' lt; 0 - выпуклый ввысь
При x (0,567; +oo) будет y '' gt; 0 - выпуклый вниз
10) Пределы
lim(x-gt; 0) x*ln^2 x = 0
lim(x-gt; +oo) x*ln^2 x = +oo
11) Асимптоты.
Вертикальных асимптот (разрывов функции) нет.
Горизонтальные и наклонные асимптоты
f(x) = kx + b
k = lim(x-gt;oo) (y/x) = lim(x-gt;oo) ln^2 x = +oo
Асимптот нет.
12) Область значений функции. Это можно найти, только изучив все остальное, потому это последний пункт.
y [0; +oo)
График я примерно изобразил на рисунке.