Геометр поставил на окружности несколько точек. Потом он измерил все расстояния

Чтоб ИЗМЕРИТЬ расстояние меж двумя точками, надо провести между ними прямую и измерить длину отрезка меж этими точками.
Геометр, расставляя точки на окружности получил вписанный многоугольник.
Формула КОЛИЧЕСТВА диагоналей многоугольника:
K=n*(n-3)/2.
Расположив, к образцу, 6 точек на окружности, он получил шестиугольник с 9 диагоналями, да еще 6 сторон - итого 15 отрезков, которые он измерил. Предположим, что все отрезки различные.
Значит, для получения 15 различных чисел он расставил 6 точек.
Но представим, что многоугольник получился правильным.
И тогда мы увидим, что РАЗНЫХ чисел у геометра вышло только 3 сторона (все стороны равны) и две диагонали (все другие попарно одинаковы измеренным двум). Получилось так поэтому, что верный n-угольник имеет n осей симметрии, проходящих через его центр.
Если n - четно, то оси симметрии правильного многоугольника содержат
обратные вершины.
Если n - нечетно, то осями симметрии правильного многоугольника являются прямые, любая из которых проходит через верхушку многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Проведем ось симметрии для нашего 6-угольника. Она пройдет через ЛЮБЫЕ две противоположные верхушки и окажется, что две верхушки, лежащие по различные стороны оси симметрии, равноудалены от вершины, через которую проходит ось симметрии, но имеют разную длину.
Один из этих отрезков в 6-угольнике совпадает со стороной 6-угольника и его не считаем. И плюс расстояние между обратными верхушками. Итого 2 различных отрезка. Да еще отрезок - сторона многоугольника. Итого 3 РАЗНЫХ отрезка.
Осмотрим верный 7-угольник, у которого ось симметрии пройдет через вершину и середину обратной стороны. Мы получим те же 2 различных отрезка по одну из сторон оси симметрии плюс отрезок - сторону. Итого - те же 3 различных отрезка.
Итак, построив верный 7-угольник, мы получили 3 разных отрезка либо наоборот, чтоб получить 3 различных числа (отрезка) нам пришлось выстроить верный 7-угольник.
Получили формулу: О=(n-1)/2, либо напротив, n=2*O+1,
где О - максимальное количество различных отрезков.
Так как геомтру нужно получить Наибольшее число точек, то для получения 40 Различных чисел ему пригодится расположить на окружности 81 точку, построив Верный 81-угольник.

P.S. Строить правильный 81-угольник трудно. На рисунке для примера дан 21-угольник. Для  проверки формулы сможете легко выстроить 8 и 9-угольники либо 10 и 11 угольники и сопоставить их.