а)Почленно сложить:1.7+6=7.70.5-1.7=-1.2б)Почленно помножить:3.8-5=-1.23=0.6+2.4

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

12 Почленное умножение неравенств

Аксиома. Неравенства схожего смысла с положительными долями можно почленно множить.

Доказательство. Пусть а gt; b и с gt; d, при этом числа а, b, с и d положительны. Докажем, что aс gt; bd.

Умножив неравенство а gt; b почленно на положительное число с, получим ас gt; bc. Умножив потом неравенство с gt; d почленно на положительное число b, получим bc gt; bd. Сейчас имеем: ас gt; bc, a bc gt; bd. Но тогда по второму основному свойству неравенств ( 10) обязано быть ас gt; bd.

Аналогично может быть осмотрен случай, когда a lt; b и c lt; d.

Образцы:

Следствие 1. Если а gt; b, при этом числа а и b положительны, то для хоть какого естественного п

аn  gt;  bn.

Вправду, умножая почленно неравенство а gt; b само на себя,  получим а2 gt; b2. Умножая потом почленно приобретенное неравенство на начальное неравенство а gt; b, получим а3 gt; b3 и т. д.

Следствие 2. Если числа  а   и   b  положительны  и

аn  gt;  bn                (1)

(п  естественное число), то а gt; b.

Вправду, вероятен один из 3-х случаев: а = b, a lt; b и а gt; b. 
Если    а = b,    то    аn  =  bn. 
При а lt; b мы имели бы b gt; а, и поэтому по следствию 1  bn gt; аn . И то и иное противоречит неравенству (1).      
Остается признать, что а gt; b.

Пример.   Найти, какое число больше: 5  + 6  либо  3  + 8 .

Возвысим оба числа в квадрат:

(5  + 6 )2 = 5 + 230  + 6 = 11 + 230  ; 
(3  + 8 )2 = 3 + 224  + 8 = 11 + 224

Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как эти числа положительны, то по следствию 2

5  + 6  gt; 3  + 8 :

Упражнения

93.  Любые  ли  два   неравенства   одинакового  смысла   можно почленно помножить? (Рассмотрите пример:    3 gt; 10   и     2 gt; 7.)

94.   а) Всегда ли из а gt; b вытекает, что аn  gt;  bn ? Ответ   объяснить  образцами.

б) Следует ли из аn  lt;  bn, что а lt; b? Ответ объяснить примерами.

В задачках 95102 сопоставить данные числа, то есть узнать, какое из их больше и какое меньше:

95. 2  + 3  и  7 .                                99*. 32 + 34  и 326?

96. 5  + 3   и  6  + 2                    100. (1 + 5)100 и 3100.

97. 11  10  и 6   5 .              101. (7 +2)9 и 49.

98. 8   15  и  1/2(30  2 )        102. (5 3)51 и  (6 2)51

ОТВЕТЫ ТОЛЬКО ТАК