по кругу расставлены числа от 1 до 27 в случайном порядке.

Разделим числа на отдельные тройки рядом стоящих, получится 9 троек. Если бы сумма чисел в каждой тройке была бы меньше 42, то сумма всех чисел была бы меньше 42 * 9 = 378, желая по условию она одинакова (1 + 27) * 27/2 = 378. Противоречие. Значит, желая бы в одной троке сумма не меньше 42