a+b=2Докажите, что a^4+b^4amp;gt;=2

Выразим из условия переменную b:

Подставим это соотношение в разглядываемое неравенство:

Рассмотрим многочлен в левой доли неравенства. Разложим его на множители:

Возможно, удобнее вести запись в иной форме (схема Горнера, разделенье в столбик), так как дважды при разложении на множители сумма коэффициентов многочлена равнялась нулю, что означает, что корнем является число а=1.

Заметим, что множитель не раскладывается на линейные множители:

Ворачивается к неравенству:

Левая часть из корней имеет лишь корень четной кратности, одинаковый 1. Решая неравенство по методу интервалов, при переходе через корень четной кратности знак не изменяется на обратный. Явно, что на каждом из образовавшихся промежутков фигурирует символ "плюс". Сам корень четной кратности также является решением, так как неравенство нестрогое.

Означает, решением неравенства являются все действительные числа. Дополнительно можно отметить, что равенство достигается только в точке а=1, в иных случаях наблюдаем требовательное неравенство.

Так как заключительнее неравенство производится при всех значениях, то и начальное неравенство также производится при всех значениях.