Решите в целых числах уравнение:x^6=y^3+217

task/30403630  Решите в целых числах уравнение:  x =y+217

решение  x= y+217 (x)- y= 217 (x- y)( (x) +xy +y) = 217

т.к. (x)+xy+y=(x+y/2)+3y/4 gt; 0 x - y  gt; 0     x - y = d gt; 0  

* * * т.е. отрицательные  делители числа 217 исключаются  * * *

Можно  установить ограничение и на  x - 7 = d

x- y =d; (x)+xy +y)=217/d.y=x-d; (x)+x(x-d)+(x-d)=217/d.

(x) + x(x - d)+(x - d) =217/d.  (x) - d*x+(1/3)* (d-217/d ) = 0

Уравнение может иметь  решение, если  дискриминант

D=d- (4/3)(d- 217/d) = 868/3d - d/3= (868 - d)/3d 0 0 lt; d lt; 10

* * *  217 = 7*31 =31*7 = 217*1 = 1*217  * * *   остается разглядывать  два варианта  d = 7  или  d = 1

а)d=x- y = 7

x- y = 7 ; (x) +xy +y) = 31.

(x)- 7x+6 = 0 [x = 6 ;x= 1.    x= 1 x= 1 y =x - 7 = - 6  

(-1 ; - 6) , (1; - 6)              * * * x= 6x =6 не целые * * *

б)  d=x- y = 1

x- y =1 ; (x) +xy +y) =217.

(x)- x- 72 = 0 [ x= - 8 ; x = 9.    x= 9 x =3     y =x - 1 =8

(-3 ;8) , (3;8)   * * x= - 8 не имеет (даже) реальных корней * *

ответ:  (-3 ;8) , (-1 ; - 6) , (1; - 6) ,(3 ;8).

y=x-7 ; (x)+x(x-7)+(x-7) =31.

(x) +x(x-7)+(x-7) =31 3(x) -21x+(49-31) = 03(x)- 21x+18 = 0   (x)- 7x+6 = 0 [ x= 1 ; x= 6.  x =1 x= 1   y =x-7 =1-7= - 6