Решить систему дифференциальных уравнений:[tex]left fracdxdt=-x+8y atop

1) Берем второе уравнение системы и выражаем из него x:

x=y'+3y *

Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой.

2) Дифференцируем по обе доли приобретенного уравнения:

x'=y"+3y'

Подставим x и x' в 1-ое уравнение системы :

y"+3y'=-y'-3y+8y

И проведём максимальные упрощения:

y"+4y'-5y=0

Получено самое что ни на есть обыденное однородное уравнение второго порядка с неизменными коэффициентами.

3) Составим и решим характеристическое уравнение:

m+4m-5=0 =gt; (m+5)(m-1)=0

m1=-5; m2=-1

получены разные действительные корешки, потому:

y(t) =C1e^5t+C2e^-t

Одна из функций найдена, пол пути сзади.

4) Идём за функцией . Для этого берём теснее найденную функцию и обретаем её производную. Дифференцируем по t:

y'(t) =5C1e^5t-C2e^-t

Подставим y и y' в уравнение (*):

x=5C1e^5t-C2e^-t+3C1e^5 t+3C2e^-t

Или короче:

x=8C1e^5t+2C2e^-t

5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:

x(t) =8C1e^5t+2C2e^-t

y(t) =C1e^5t+C2e^-t

Где С1 и С2 неизменные