студент за 5 лет учебы сдал 31 экзамен в каждом последующем

Легко найти, что на первом курсе было сдано три экзамена и, соответственно, на 5-ом курсе девять. Остается два варианта рассредотачивания числа экзаменов на остальных курсах:  4 + 7 + 8  и  5 + 6 + 8.  Таким образом, на четвёртом курсе студент сдал 8 экзаменов; на 3-ем 6 либо 7 экзаменов.Ответ: 8 экзаменов.

31/5=6 1/5 экзамена в среднем
на 1м курсе могло быть 1,2,3,5 или 6 
Отпадают 
- 1, т.к. на 5м курсе тогда 3, остается на 2-4курсы только 2- никак 31 не получится
- 2, т.к. на 5м курсе тогда 6, на 2-4 курсах 3,4,5, сумма 20
- 4, т.к. на 5 курсе тогда 12, на 2-4 курсах мало 5,6,7, сумма 34
- 5, т.к. на 5 курсе тогда 15, на 2-4 курсах мало 6,7,8, сумма 41
- 6, т.к. на 5 курсе тогда 18, на 2-4 курсах мало 7,8,9, сумма 48

Остается один вариант: на 1м курсе 3 экзамена.

На 1м- 3, на 5м-9, сумма 12
На 2,3,4й курсы остается 31-12=19 экзаменов.
Осмотрим вероятные варианты (с учетом условия "В каждом последующем году он сдавал больше экзаменов чем в прошлом")
4+5+6=15
4+5+7=16
4+5+8=17
4+6+7=17
4+6+8=18
4+7+8=19 -подходит
5+6+7=18
5+6+8=19 подходит
5+7+8=20
Таким образом подходит два варианта, но при любом из их на 4 курсе сдаете 8 экзаменов.
Ответ: на 4м курсе студент сдавал 8 экзаменов.