Найдите меньший корень уравнения [tex]sin frac pi *x4 + cos frac pi

Question

Найдите меньший корень уравнения [tex]sin frac pi *x4 + cos frac pi

Найдите наименьший корень уравнения $sin \frac \pi *x4 + cos \frac \pi *x4=U$ принадлежащий отрезку U x 8.
Пожалуйста с разъясненьем, если можно. Спасибо

Задать свой вопрос

Сахиева Эвелина
Математика
2019-07-17 19:40:05
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Безотлагательно!!!Необходимо ВЫЧИСЛИТЬ,КАКОЙ ОБЪЁМ ВОДОРОДА МОЖЕТ ВЫДЕЛИТСЯ,ЕСЛИ В РЕАКЦИЮ С ВОДОЙ

Празднички и традиции Англии

Кочан капусты на 4/5 кг тяжелее 4/5 этого же кочана.Какова масса

переведите пожалуйста!!! можно не дословно, но что бы осознать смысл(8класс)

Найдите самое махонькое четырехзначное число, которое делится на 9

Переведите на казахский В моей семье много различных традиций.К примеру каждые выходные

Написать сочинение на тему quot;Как я провела это летоquot; помогитее плииииз))

Помогите мне пожалуйста! Я из 2 класса, и мне надобно 2 правила как решить уравнение

Папа выехал из городка в деревню на автобусе в 6 часов

отношение героев друг к другу рассказ куколка Создатель Носов

Арсений · Answer 1 · 2019-07-17 19:49:23+3:00

Вообще, уравнение проще решить графическим способом, но для анализа функции её хорошо бы продифференцировать.
Так как задача указана для средней школы, то решим задачку в лоб, что длиннее.
Для начала необходимо выбросить cos из уравнения, чтоб можно было подменой уйти от тригонометрических функций.
$sin \frac \pi x4 + cos \frac \pi x4 = sin \frac \pi x4 +\sqrt1-sin^2\frac \pi x4 =$ /Подмена $y=sin \frac \pi x4$ /
= $y+ \sqrt1-y^2 =U=gt;\sqrt1-y^2 =1-y^2 + U -1=gt;$ /Замена $z=\sqrt1-y^2$ /
=gt; $z=z^2 +U-1=gt;amp;10;$
=gt; $z^2-z +U-1=0 =gt; D=b^2 -4ac=1+4(U-1)=$
В случае, если $D \geq 0,$ то уравнение имеет решение.
=gt; При $4U-3 \geq 0 =gt; U \geq \frac34$ ;
То есть при $U lt;\frac34$ , решений нет.
$z_1,2 = \frac-b +/- \sqrtD 2a =\frac-1 +/- \sqrt4U-3 2$
Так как z - это корень, то по определению корня это неотрицательное число =gt; $z = \frac\sqrt4U-3 -12=\sqrt1-y^2$

=gt; $\sqrt4U-3 -1=2\sqrt1-y^2=gt;(\sqrt4U-3 -1)^2=4(1-y^2)$
=gt; $4U-3-2\sqrt4U-3 +1=4-4y^2 =gt; 4y^2 = 6-4U +2 \sqrt4U-3$
=gt; $y = \frac\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-32$
При этом обязано выполняться неравенство $\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-3 \geq 0$ , по другому корней нет. Пометим это выражение (1*)

$y=sin \frac \pi x4=\frac\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-32[$
Решения есть, если $-1\leq \frac\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-32 \leq 1$

=gt; $\frac \pi x4=(-1)^k arcsin(\frac\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-32)+/pi k$ , где k принадлежит Z
=gt; $x=\frac4 \pi ( (-1)^k arcsin(\frac\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-32)+/pi k)$
=gt; $x=\frac4 \pi (-1)^k arcsin(\frac\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-32)+\frac4 \pi /pi k$
=gt; $x=\frac4 \pi (-1)^k arcsin(\frac\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-32)+4 \sqrt/pi k$
Так как мы разыскиваем наименьший корень, то что числитель обязан быть минимальным при наименьшем k либо наибольшим при минимальном k, отысканные числа нужно сравнить =gt; Найдём поначалу наименьшее значение
Выражение $\frac\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-32$ обязано быть минимальным
=gt; Выражение $\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-3$ обязано быть минимальным
=gt; Выражение $6-4U +2 \sqrt4U-3$ обязано быть минимальным
$6-4U +2 \sqrt4U-3=$ /Подмена k=4U-3/ $=3-k^2 +2 k= -k^2+2k+3$
Это формула параболы с ветвями, направленными вниз с вершиной при k=1. При этом вспомним, что в выражении (1*) мы требуем, чтобы данное выражение было $\geq 0$
=gt; Меньших значений это выражение будет достигать в точках скрещения с 0
=gt; $D/4=m^2-ac= 1+3=4=2^2 =gt;k_1,2 = \frac-m+/-D/4a= \frac1+/-21$
$k_1 =-1; k_2 =3; =gt; 4U_1-3=-1 =gt; U_1=1/2$
=gt; $4U_2-3=3 =gt; U_2 = 3/2;$
Поскольку у нас ограничения для $U\geq\frac34$ , то малое значение будет достигаться при U=3/2;
Проверим это значение U ещё вот по этому ограничению :
$\sqrt6-4U +2 \sqrt4U-3=\sqrt2\sqrt3 gt; 0$
=gt; $x=\frac4 \pi (-1)^k arcsin(\frac\sqrt2\sqrt32)+4 \sqrt/pi k$
$x \geq \frac32$ - это следует из критерий задачки
=gt; k=1 =gt; $x=\frac4 \pi (-1) arcsin(\frac\sqrt2\sqrt32)+4 \sqrt/pi$ (11)
Вообщем, необходимо ещё доказать, что минимальное значение арксинуса в сумме с слагаемым при k=1 меньше, чем наибольшее значение арксинуса при k=0.
Арксинус максимален в верхушке параболы обрисовывающей его числетель =gt; U=1 =gt; $x=\frac4 \pi arcsin(\frac\sqrt6-4 +2 \sqrt4-32)$
=gt; $x=\frac4 \pi arcsin(\frac\sqrt42)$
=gt; $x=\frac4 \pi arcsin(1) = \frac4 \pi 2\pi =2$

Сейчас определим, которое из чисел меньше. Вычтем из x (11) 2:
$\frac4 \pi (-1) arcsin(\frac\sqrt2\sqrt32)+4 \sqrt/pi -2=$
= $x=\frac4 \pi (-1) arcsin(\frac\sqrt2\sqrt32)+4 \sqrt/pi -2$
/Для упрощения оценки допустим, что арксинус добивается собственного наибольшего значения = $\frac \pi 2$ , /
= $x=\frac4 \pi 2\pi (-1) +4 \sqrt/pi -2=4 \sqrt/pi-4gt;0$
Как следует x=2 - это малый корень из всех вероятных.
Ответ: x=2

Просто кошмар, это решение стоит намного больше, чем 5 баллов.
Прилагаю график, на котором изображена функция tex]sin \frac \pi x4 + cos \frac \pi x4[/tex], а также y=x, которая служит ограничением по условиям задачки

О проекте

Найдите меньший корень уравнения [tex]sin frac pi *x4 + cos frac pi

Добро пожаловать!