на дощечке написано 600 поочередных чисел (посреди их могут быть отрицательные

Ответ: 20            Пусть нам даны числа от ( - 199) до 200. Отбрасывая самое большое, получаем нулевую сумму других - это 1-ый квадрат. Означает, 200 - хорошее число. Если отбросить 199 заместо 200, сумму других увеличим на 1; она станет равна 1 - это 2-ой квадрат. Получили 2-ое хорошее число - 199. Переходя к отбрасыванию 198, 197 и т.д. мы каждый раз сумму остальных увеличиваем на 1. Когда отбросим самое махонькое число - минус 199, получим сумму остальных, одинаковую 399 (проще всего сообразить так: все числа от минус 198 до до плюс 198 "попарно скушают друг друга" (для нуля пары не будет, но ему не очень то и хотелось - он самодостаточен), остаются 199 и 200, которые и дают сумму 399. В результате мы будем получать последующие суммы, являющиеся полными квадратами: 0, 1, 4, 9, 16,..., 361. Так как 1-ое одинаково нулю в квадрате, а заключительное одинаково 19 в квадрате, получаем 20 квадратов. Таким образом, мы получили пример того, что 20 хороших чисел повстречаться может.

Остается обосновать, что большего количество хороших чисел быть не может. Для этого обратим внимание на то, что при сдвиге нашего массива чисел вправо на 1 все получающиеся суммы растут на 399. Сейчас они будут принимать значения от 399 до  798. Плотность квадратов среди естественных чисел с ростом чисел убавляется (расстояние меж ними каждый раз подрастает на 2), потому хороших чисел станет меньше (их там 9 штук - от 20 в квадрате до 28 в квадрате). Еще меньше квадратов мы будем получать, если массив сдвигать еще правее. В какой-то момент там вообщем могут не получаться полные квадраты. Попытка сдвинуть массив не вправо, а влево вообще абсурдна, так как теснее после первого сдвига все суммы станут отрицательными (хорошо, уговорили, так и быть, одна сумма будет одинакова нулю).