На клетчатой бумаге закрашен квадрат из нескольких клеток, стороны которого лежат

Площадь наименьшего квадрата: S = a (кл.)
Площадь большего квадрата: S = a = (a+x) (кл.), 
где х - разница в длине стороны большего и меньшего квадратов.

Так как S = S+47, то:
                                     (a + x) = a + 47
                                     a + 2ax + x = a + 47
                                     x(2a + x) = 47   

Так как 47 - простое число, то существует единственное разложение этого числа на множители:
                                     47 = 47*1
Как следует, х = 1  и  2а = 46
                                            а = 23 (кл.)        а+1 = 24 (кл.)

Проверим:
                    24 - 23 = 47
                   576 - 529 = 47
                             47 = 47   

Ответ: сторона начального квадрата 23 клеточки.