Будем называть естественное число занимательным, если все его числа, кроме первой

Решение Пусть a1a2...ak десятичная запись числа, любая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического примыкающих с ней цифр. Тогда a1 a2 gt; a2 a3 gt; ... gt; ak1 ak. Если бы 1-ые четыре разности a1 a2, a2 a3, a3 a4, a4 a5 были положительными, то разность a1 a5 = (a1 a2) + (a2 a3) + (a3 a4) + (a4 a5) была бы не меньше 4 + 3 + 2 + 1 = 10, что невероятно. Как следует, только три разности a1 a2, a2 a3, a3 a4 могут быть положительными. Подобным образом, только три разности ak3 ak2, ak2 ak1, ak1 ak могут быть отрицательными. Не считая этого, еще одна разность меж примыкающими цифрами может приравниваться 0. Произнесенное выше значит, что в числе не более 8 цифр (не более 3 + 3 + 1 = 7 разностей между примыкающими цифрами). Чтоб сделать разыскиваемое восьмизначное число максимальным, необходимо положить a1 = 9 и избрать разности ai ai+1 мало вероятными (с тем условием, чтоб посреди разностей были 3 положительных, 3 отрицательных и одна нулевая): a1 a2 = 3, a2 a3 = 2, a3 a4 = 1, a4 a5 = 0, a5 a6 = 1, a6 a7 = 2, a7 a8 = 3.