На дощечке написано 1000 поочередных целых чисел (посреди их могут быть

Осмотрите такое решение, при кандидатуре воспользуйтесь наилучшим:
1) попорядку всех 1000 чисел образуют арифметическую прогрессию с разностью 1;
2) с иной стороны, сообразно свойствам квадратичной функции (если брать у доли такой интервалы по 1000), величайшая плотность квадратов сосредоточена в области начала координат, то есть О(0;0), также квадрат всякого целого числа не считая 0 есть число натуральное.
3) беря во внимание пп.1 и 2 делаем вывод, что прогрессия обязана в сумме давать число, не превышающее 1000, которая без величайшего по модулю члена даёт итог, близкий к 0, а без наименьшего - близкий к 1000. Также как можно больше результатов обязаны быть естественными числами.
4) требованию пп.3 удовлетворяют две прогресси: а) -500, -499, -498,...,498, 499 и б) -499, -498, -497,..., 498, 499, 500.
1-ый числовой ряд в сумме даёт (-500), без числа 499 даёт (-999), а без числа (-500) - 0. "Хороших" чисел в спектре [-999;0] одно. Это 0.
2-ой ряд в сумме даёт 500, без числа 500 даёт 0, без числа (-499) - 999. "Хороших" чисел в спектре [0;999] 32 (это числа от 0 до 31).
Остальные ряды дают еще наименьшее количество таких чисел, ибо сообразно пп.2 далеко отстоят от О(0;0).
Ответ: 32.