обосновать, что уравнение 7x + 11y =12 не имеет целочисленных решений

Одно из решений данного уравнения x=-3, y=3. Подобрать его можно, к примеру, последующим образом:

При x=1, y=-1 выражение 7x+11y одинаково 7-11=-4.
Умножим значения переменных на -3, тогда при x=-3, y=3 получим 7x+11y=-21+33=12, что и требовалось.

Замечу, что данное уравнение не имеет естественных решений, поскольку при x,y1 левая часть взыскательно больше 12.