решите в натуральных числах уравнение y(x+1)^2=128x

Х+1 и х взаимно ординарны, означает (x+1)^2  является одним из делителей числа 128, при этом четким квадратом естественного числа
128=2*8^2=8*4^2=32*2^2=128*1^2
откуда х+1=8 либо х+1=4 либо х+1=2 или х+1=1

осмотрим эти варианты
x+1=1, х=0 - не подходит

x+1=2; x=1; y*4=128*1, y=32

x+1=4, x=3; y*16=128*3, y=128*3/16=24

x+1=8, x=7, y*64=128*7, y=128*7/64=14
ответ: (1, 32), (3, 24), (7, 14)