Найдите все тройки естественных чисел x,y и z, для которых 4(x+y+z)=xy+yz+zx

Так как равенство симметрично, можно без ограничения общности считать, что x y z. Положим y = x + k, а z = x + m, где k и m - неотрицательные целые. Тогда 4(x + y + z) = xy + yz + zx =gt; 4(x + x + k + x + m) = x*(x + k) + x*(x + m) + (x + k)*(x + m) =gt; 4(3x + k + m) = x^2 + kx + x^2 + mx + x^2 + mx + kx + km =gt; 12x + 4(k + m) = 3x^2 + 2x(k + m) + km =gt; 3x^2 + 2x(k + m) - 12x + km - 4(k + m) = 0 =gt; 3x^2 + (2(k + m) - 12)x + km - 4(k + m) = 0. Получили квадратное условно x уравнение. Находим дискриминант: D = (2(k + m) - 12)^2 - 12(km - 4(k + m)) = 4k^2 + 4km + 4m^2 - 48k - 48m + 144 - 12km + 48k + 48m = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. Поскольку x у нас естественное, дискриминант обязан являться полным квадратом. Сходу лицезреем, что так как 4k^2 + 4m^2 - 8km = 4(k^2 + m^2 - 2km) = 4(k - m)^2, то при k = m, D = 144. Тогда наше решение будет x(1,2) = -((2(k + m) - 12) 144)/6, отсюда x1 = (12 + 12 - 2(k + m))/6 = (24 - 2(k+m))/6 = (24 - 4k)/6. Отсюда видно, что x1 будет натуральным при k = 0 и k = 3. Его значения будут одинаковы соответственно x1 = 4 и x1 = 2. Второй корень x2 =  (12 - 12 - 2(k + m))/6 = -(k + m)/3 отрицательный и нам не подходит. Тогда, в случае k = m, имеем последующие комплекты возможных решений (x, y, z) = (4, 4, 4), (x, y, z) = (2, 5, 5). Конкретной проверкой убеждаемся, что решение (2, 5, 5) нам не подходит. Т. о. в случае, когда k = m имеем одно решение x = y = z = 4. Обратимся снова к дискриминанту: D = 4k^2 + 4m^2 - 8km + 144. Пусть сейчас k