Путник шел по лесной дороге к станции с неизменной скоростью ,

Скорость путника до привала: v км/ч
Скорость путешественника после привала: v+1 км/ч
Время за которое путник прошел бы 4 км, двигаясь
с начальной скоростью:
                                                           t = S/v  (ч)
Время за которое путник прошел 4 км, двигаясь
с увеличенной на 1 км/ч скоростью:
                                                           t = S/(v+1) (ч)
По условию разность во медли движения на этом участке составила:
                  t' = 20 мин = 1/3 ч
То есть:
                  t - t = t'

Тогда:
             

v - не удовлетворяет условию.

Ответ: начальная скорость путника 3 км/ч.