какой вид спорта позволяет производить гибкость силу ловкость

Пожалуй, все виды спорта дозволяют производить и силу, и ловкость, но тем не наименее, я попробую предположить:

Заниматься йогой (не спорт), гимнастикой, плаванием, бегом (и в перерывах растягиваться), акробатикой, прыжками в высоту, фигурным катанием - означает вырабатывать упругость.

Чтобы выработать ловкость, необходимо заниматься координацией движений.  В этом поможет баскетбол, гандбол, теннис, футбол и прочее.

Силу можно выработать, занимаясь тяжеленной атлетикой, тем же плаванием и всем тем, что развивает мускулы.