Дано: отрезок АСПостроить: середину АС - D. Точку В - чтобы

Сделаем набросок.Так как окружность пересекает продолжения сторон АС и ВС,  а точки N и М лежат на ней, углы DNЕ и DМЕ, опирающиеся на поперечник DE,  - прямые, а угол DСЕ , верхушка С которого находится внутри окружности, тупой.Так как точки D и Е - середины сторон АС и ВС, отрезок DЕ - средняя линия треугольника АВС и равен половине АВDЕ=АВ:2=7DС= АС:2=3СЕ=ВС:2=5Найдем величину угла DСЕ по т. косинусов. Вычисления давать не буду, ничего трудного в их нет.Основное, что   найденный в итоге косинус угла DСВ равен - 0,5, и этокосинус 120.Угол ЕСN, как смежный с углом ЕСD, равен 60.Т.к. треугольник ЕСN прямоугольный, угол СЕN равен 90-60=30.На том же основании угол СDМ =30Оба эти угла  опираются на дугу МN.На ту же дугу опирается центральный угол МОN.Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный, в два раза больше него,  угол МОN=60.Угол ЕСN - внешний угол при верхушке С треугольника DЕС. Он равен 60, сумма углов ЕDС и DЕС равна этому внешнему углу и одинакова 60.Сумма половин углов СЕN и СDМ равна 2*(30:2)=30. Как следует, сумма углов ЕDК+КЕD равна 60+30=90.Отсюда угол DКЕ равен 180-90=90Треугольник DKE- прямоугольный, две его верхушки лежат на окружности, а половина гипотенузы - радиус этой окружности.Как следует, этот треугольник вписан в окружность, и К, точка пересечения биссектрис углов МЕNи NDМ, лежит на этой окружности, что и требовалось обосновать. Треугольник МОN - равноберенный, т.к. ОМ=ОN= радиусу.Если угол при верхушке равнобедренного треугольника равен 60, этот треугольник - равносторонний.МN одинакова радиусу окружности, т.е. равна половине ее поперечника DЕМN=7:2=3,5