сочинение на тему определители

ГЛАВНАЯПОИСКЗАКАЗАТЬ!

S  Математика  Матрицы и определители


2. Определители

Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется хоть какое расположение этих чисел в определенном порядке. В простой алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, одинаково 12...n = n!. Например, из 3-х чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Разговаривают, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i gt; j, но i стоит в этой перестановке ранее j, то есть если большее число стоит левее наименьшего.

Перестановка именуется четной (либо нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, средством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой ступени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в иную, записывается 2-мя строками в общих скобках, при этом числа, занимающие схожие места в осматриваемых перестановках, величаются соответствующими и пишутся одно под иным. К примеру, знак обозначает подстановку, в которой 3 перебегает в 4, 12, 21, 43. Подстановка именуется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строчках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой ступени может быть записана в виде ,т.е. с естественным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

. (4.3)

Рассмотрим все вероятные произведения по n частей этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строчки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

, (4.4)

где индексы q1 , q2 ,..., qn составляют некую перестановку из чисел

1, 2,..., n. Число таких творений равно числу разных перестановок из n знаков, т.е. одинаково n!. Символ творенья (4.4) равен (- 1)q , где q - число инверсий в перестановке вторых индексов частей.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), величается алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ A = либо det A= (детерминант, или определитель, матрицы А).

Характеристики определителей

1. Определитель не изменяется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строчки, определитель поменяет символ.

4. Определитель, содержащий две однообразные строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строчки определителя умножить на некое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строчки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строчки определителя представлены в виде суммы 2-ух слагаемых aij = bj + cj (j = ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, не считая i-ой, - такие же, как в данном определителе, а i-я строчка в одном из слагаемых состоит из элементов bj , в другом - из частей cj .

8. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк прибавляются подходящие элементы иной строчки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все характеристики остаются справедливыми, если заместо строк брать столбцы.

Минором Mij элемента aij определителя d n-го порядка величается определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строчки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим добавлением элемента aij определителя d величается его минор Mij , взятый со знаком (-1)i+j . Алгебраическое дополнение элемента aij будем означать Aij . Таким образом, Aij = (-1)i+j + Mij .

Методы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает последующая теорема.

Аксиома (разложение определителя по строке либо столбцу).

Определитель равен сумме творений всех частей случайной его строчки (либо столбца) на их алгебраические добавления. По другому говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 +... + ain Ain (i = )

или j- гостолбца

d = a1j A1j + a2j A2j +... + anj Anj (j = ).

В частности, если все элементы строки (либо столбца), кроме 1-го, одинаковы нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

При поддержки простых преображений строк и столбцов всякую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее основной диагонали.