1. Происшествия, выраженные деепричастным оборотом, обособляются всегда.а) да;б) нет.2.

     б) нет.

2. В предложении (Затрещали кустики, заметались вершины молодых сосен, заскрипел оседая наст) обособленных членов предложения нет и знаки препинания расставлены правильно.
     б) нет (оседая обособленное событие, выраженное одиночным деепричастием, выделяется запятыми)

3. Буяня и грозя, волны равномерно ударяли в стену мола. В этом предложении обособлены два деепричастия и знаки расставлены правильно.
    а) да (деепричастия: буяня и грозя)

4. Одиночно употребляемые слова: стоя, сидя, молчком, не глядя - обособляются, так как являются наречиями.
     б) нет (не обособляются).

5. Стоя на берегу я смотрел на волны, догонявшие друг друга. В этом предложении все знаки препинания расставлены правильно.
    б) нет (стоя на берегу обособленное событие, выраженное деепричастным оборотом, выделяется запятой).

6) В обоих предложениях: 1) Засучив по локоть рукава, я принялась месить тесто. 2) Работать здесь придется засучив рукава - знаки препинания расставлены верно.
    а) да (в 1-м это деепричастный оборот; во 2-м часть фразеологизма).

7) Номера предложений, в которых есть обособленные происшествия:

          (2), (3), (4).
   (2) Держа кувшин над головой, грузинка тесною тропой сходила к берегу.
   (3) Я вскочил в повозку и, схватив поводья, погнал лошадка.
   (4) Несмотря на жару, вода в реке была прохладной.

8) Запятые в предложениях с обособленными обстоятельствами.
   (1) Уходя, гасите свет.
   (2) От Урала до Дуная, до великой реки, колыхаясь и блистая, движутся полки.
   (3) Будем работать засучив рукава.
   (4) Яков шел не торопясь.
   (5) Летом, вечерними зорями, любил я бродить вдоль реки.

9) Номера предложений, в которых правильно поставлены знаки препинания при обособленных обстоятельствах: (2), (3), (4).
   (1) Степь побурела и задымилась(,) подсыхая. (нужна запятая)
   (2) Я вскочил в повозку и, поймав поводья, погнал лошадка.
   (3) Малыши, вопреки холоду, вышли погулять.
   (4) Все это она делала не спеша, без шума, с какой-то умиленной и тихой заботливостью на личике.
    (5) Пантелей Прокопьевич, скрепя сердечко, доверил Дарье быков.
          (запятые не необходимы: фразеологизм)

10) Номера предложений, в которых неправильно поставлены знаки препинания при обособленных обстоятельствах: (2), (3), (5).
    (1) Пошучивая и хохоча от души, они прошли все расстояние незначительно.

    (2) С утра до поздней ночи работал Федор, не покладая рук.

            (запятая не нужна: фразеологизм)

    (3) Подруга, обернувшись тормознула.
    (нужна вторая выделяющая запятая после деепричастия обернувшись)

     (4) Спустя три часа его повели на допрос.

     (5) Они шли, не торопясь. (запятая не нужна)