Здрасти!Подскажите, пожалуйста, 1) нужна ли запятая после но: но несмотря на трудности;

Перед но всегда запятая ставится
105. В названиях высших партийных, правительственных, профсоюзных учреждений и организаций Русского Союза пишутся с строчный буковкы все слова, входящие в состав наименования, не считая служебных слов и слова партия:
Коммунистическая партия Русского Союза.
Центральный Комитет Коммунистической партии Русского Союза.
Президиум ЦК КПСС.
Всесоюзный Ленинский Коммунистический Альянс Молодежи.
Верховный Совет СССР (РСФСР, УССР и иных республик).
Совет Союза.
Совет Национальностей.
Совет Министров СССР (РСФСР, УССР и иных республик).
Верховный Трибунал СССР.
Всесоюзный Центральный Совет Проф Союзов.
Русская Армия и Военно-Морской Флот.
Примечание. С строчный буковкы пишутся также все слова, кроме служебных, входящие в названия некоторых интернациональных организаций: Всемирный Совет Mира, Opганизация Объединенных Наций, Совет Безопасности, Сообщество Красноватого Креста и Красноватого Полумесяца.
Также пишется если в начале предложение и в стихотворной форме.

1) ..., но несмотря на трудности... (Перед но - да)
2) Вроде всегда с большей пишется