В предложении Зима заканчивается спрятано слово мак. В данных предложениях спрятаны

Топоним - это собственное имя (заглавие) какого-или географического объекта, в нашем случае - страны. Термин произошёл в результате слияния 2-ух греческий слов: топос [] = место + онома [] = имя. Будем искать топонимы в местах слияния разных слов в предложениях.

Пристально прочитаем стыки слов

1) Максим свои двойКИ ТАЙно поправил.
Страна - Китай, по другому нарекаемая Китайской Народной Республикой (все три слова обязательно с великой буквы - это интернациональный эталон, и неуместное внедрение малюсенькой буквы является ошибкой).

2) эТУ НИСпадающую чёлку нужно аккуратно уложить.
Страна - Тунис, полное заглавие - Тунисская Республика (тоже оба слова с великой буквы), столица также именуется Тунис (приятная, просто запоминающаяся необыкновенность). 

3) если недомогает ВАша голова, выйдите на свежайший воздух.
Страна - Литва, по аналогии с прошлыми странами также называет себя республикой - Литовской Республикой (и опять оба слова с великий буковкы).

4) рыбалКА НА Далеком озере удалась.
Страна - Канада, республикой себя не именует, так как форма правления там иная - конституционная монархия (Канада - былая английская колония).

5) безотлагательно нужно в ПОРТ, У ГАЛИ Я возьму ключи от машины.
Страна - Португалия, либо Республика Португалия (опять с великих букв).

Изобилье примеров показывает на закономерность: в названиях государств слово "Республика" пишется с великой буквы, а если оно просто означает форму правления и не заходит в состав топонима, тогда "республика" будет писаться с махонькой буковкы. Как управляло, все слова в топониме (за исключением исходного, если оно характеризует тип топонима - мыс, звезда, озеро и т.д.) пишутся с большей буковкы. К примеру в "СССР" - "Альянс Русских Социалистических Республик" - все 1-ые буковкы великие, а в сочетаниях "озеро Байкал", "мыс Доброй Надежды", "город Кривой Рог" с большей буковкы пишутся только наименования.

Найдём дополнительные топонимы на стыке слов

В 3-ем предложении можно найти слово "ШАГОЛ" (если болит ваША ГОЛова,). Это название военного аэродрома под Челябинском, так что в перечень государств не попадает и ответом к заданию не является.

Ответ:

• Китай;
• Тунис;
• Литва;
• Канада;
• Португалия.

Максим свои двойки тайно поправил. ("Спряталась" страна Китай).

Эту ниспадающую чёлку нужно аккуратно уложить. ("Спряталась" страна Тунис).

Если хворает ваша голова, выйдите на свежий воздух. ("Спряталась" страна Литва).

Рыбалка на далеком озере удалась. ("Спряталась" страна Канада).

Безотлагательно нужно в порт, у Гали я возьму ключи от машины. ("Спряталась" страна Португалия).