какой доли речи является слово их?

Слово их - это местоимение, интеллигентное от начальной формы местоимения третьего лица - они. Попробуем изменить местоимение они по падежам: именительный (кто? что?) - они, родительный (кого? чего?) - их, дательный (кому? чему?) - им, винительный (кого? что?) - их, творительный (кем? чем?)  - ими, предложный (о ком? о чем?) - о их. Подведем итог: слово их - это местоимение третьего личика в родительном либо винительном падеже. Например: 

Их вещи потерялись в пути. Их - винительный падеж.

Оценкой их картин занимался эксперт. Их - родительный падеж.

Их машина застряла на проселочной дороге. Их - винительный падеж.

Работа их завода стала бесприбыльной в этом году. Их - родительный падеж.