К каким долям речи относятся слова однажды и около

Неизменяемое слово "единожды" является таковой долею речи, как наречие. Дадим определение: наречием в нашем языке величается часть речи, означающая обычно (как управляло) признак деянья либо признак другого признака, веско пореже оно означает признак предмета.

"Около" же - это предлог, так как "где? около", оно не является членом предложения и не отвечает на какой-либо особый вопрос, а служит только для связи слов в предложении и/либо словосочетании. Предлог - один из видов служебных слов в российском языке.

Таким образом, однажды - наречие, около - предлог.