Наутро моя крылатая подруга наконец-то нашла выход из положения: она начала

Это предложение относится к трудным, имеет 2 грамматические базы:

1. "Подруга" - подлежащее, "отыскала" - сказуемое;

2. "Она" - подлежащее, "начала учить" - составное глагольное сказуемое.

Двоеточие в предложении ставится, поэтому что вторая часть уточняет первую.